Dal piano allo spazio: punti, vettori e distanze
Nello spazio introduciamo una terza coordinata e usiamo l'algebra dei vettori per descrivere punti, rette e piani con equazioni.
Quando passiamo dal piano cartesiano allo spazio tridimensionale, ai consueti assi x e y aggiungiamo un terzo asse z, perpendicolare ai primi due. Ogni punto P dello spazio è quindi individuato da una terna ordinata di numeri reali (x, y, z), che ne rappresentano le coordinate cartesiane. I tre assi, presi a due a due, individuano i piani coordinati xy, xz e yz, che dividono lo spazio in otto regioni dette ottanti. Questa estensione del piano permette di trattare con strumenti algebrici problemi che riguardano figure solide, proprio come avveniva con la geometria analitica nel piano. La differenza fondamentale è che in molte formule compare un terzo termine, simmetrico rispetto agli altri, frutto della terza coordinata. Per esempio il punto A(2, −1, 3) si trova spostandosi di 2 unità lungo x, indietreggiando di 1 lungo y e salendo di 3 lungo z.
La distanza tra due punti A(x₁, y₁, z₁) e B(x₂, y₂, z₂) si calcola estendendo il teorema di Pitagora ed è data dalla formula d(A, B) = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²]. Allo stesso modo, il punto medio M del segmento AB ha coordinate ottenute dalla media aritmetica delle coordinate omologhe, cioè M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2). I vettori nello spazio si rappresentano con terne (a, b, c) e si sommano componente per componente, mentre il prodotto scalare vale u·v = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂. Da quest'ultimo si deduce un risultato preziosissimo: due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo. Il modulo di un vettore (a, b, c) coincide con √(a² + b² + c²) e misura la sua lunghezza, mentre il coseno dell'angolo tra due vettori si ottiene dal rapporto fra prodotto scalare e prodotto dei moduli.
Equazioni di piani, rette e sfere
Un piano nello spazio è descritto dall'equazione lineare ax + by + cz + d = 0, dove la terna (a, b, c) rappresenta un vettore normale al piano stesso. Questa interpretazione geometrica del vettore normale è la chiave per molti problemi: due piani sono paralleli quando i loro vettori normali sono proporzionali, perpendicolari quando il loro prodotto scalare si annulla. Per scrivere il piano passante per un punto P₀(x₀, y₀, z₀) con normale (a, b, c) basta imporre a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0. Per esempio, il piano passante per P₀(1, 2, −1) e perpendicolare al vettore (3, 0, 4) ha equazione 3(x − 1) + 0(y − 2) + 4(z + 1) = 0, cioè 3x + 4z + 1 = 0. La distanza di un punto P(x₀, y₀, z₀) da un piano ax + by + cz + d = 0 si calcola con |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²), generalizzazione naturale della formula del piano.
La retta nello spazio non si descrive con una sola equazione, perché ne servono almeno due, oppure si preferisce la forma parametrica. Data una retta passante per P₀(x₀, y₀, z₀) e diretta dal vettore (l, m, n), le equazioni parametriche sono x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt con t parametro reale. Eliminando il parametro, si ottengono le equazioni simmetriche (x − x₀)/l = (y − y₀)/m = (z − z₀)/n, valide quando i denominatori sono diversi da zero. Due rette sono parallele se i vettori direttori sono proporzionali, incidenti se hanno un punto comune, sghembe se non sono né parallele né incidenti, e per riconoscere quest'ultimo caso si lavora con sistemi e prodotti misti. La superficie sferica di centro C(α, β, γ) e raggio r ha equazione (x − α)² + (y − β)² + (z − γ)² = r², che sviluppata diventa x² + y² + z² + ax + by + cz + d = 0 con centro (−a/2, −b/2, −c/2) e raggio r = √(a²/4 + b²/4 + c²/4 − d), purché il radicando sia positivo.
Ricorda
- Un punto nello spazio è individuato da una terna (x, y, z) e la distanza fra due punti generalizza il teorema di Pitagora aggiungendo il quadrato della differenza delle quote.
- Un piano si scrive come ax + by + cz + d = 0 e il vettore (a, b, c) è normale al piano; una retta si descrive con equazioni parametriche partendo da un punto e da un vettore direttore.
- La sfera di centro C(α, β, γ) e raggio r ha equazione (x − α)² + (y − β)² + (z − γ)² = r²; due piani sono perpendicolari quando i loro vettori normali sono ortogonali.
- Esercizio attivo da svolgere sul quaderno: dati i punti A(1, 0, 2) e B(3, 4, −2), calcola la distanza AB, le coordinate del punto medio M e scrivi l'equazione della sfera di diametro AB.