Il logaritmo risponde a una sola domanda: a quale esponente devo elevare una base per ottenere un certo numero? Da questa idea nascono tutte le regole e le applicazioni che incontrerai nel corso dell'anno.
Nelle scienze e nell'economia capita spesso di studiare grandezze che crescono o decrescono in modo esponenziale, come una popolazione di batteri, un capitale investito o l'intensità di un suono. Per trattare numeri molto grandi o molto piccoli con scale maneggevoli, i matematici hanno inventato uno strumento che inverte l'operazione di elevamento a potenza. Questo strumento è il logaritmo, che permette di passare da una scala moltiplicativa a una scala additiva e di trasformare problemi difficili in problemi più semplici. Padroneggiare i logaritmi significa capire la loro definizione, conoscere le loro proprietà fondamentali e saperle usare in modo flessibile nei calcoli.
Definizione e condizioni di esistenza
Dati due numeri reali positivi a e b, con a diverso da 1, si chiama logaritmo in base a di b l'unico esponente x da assegnare ad a per ottenere b. In simboli scriviamo log_a(b) = x se e solo se a^x = b, dove a è detta base e b è detto argomento. La condizione che la base sia positiva e diversa da 1 garantisce che la funzione esponenziale sia iniettiva, quindi che l'esponente x esista e sia unico per ogni argomento ammissibile. L'argomento, invece, deve essere strettamente positivo, perché una potenza a base positiva non può mai dare un risultato negativo o nullo. Per questa ragione, ogni volta che incontri un'espressione contenente logaritmi, devi sempre verificare le cosiddette condizioni di esistenza prima di procedere ai calcoli. Tra tutte le basi possibili, due sono particolarmente importanti: la base 10, che dà origine al logaritmo decimale indicato con Log, e la base e (numero di Nepero, circa 2,718), che dà origine al logaritmo naturale indicato con ln.
Considera per esempio l'espressione log_2(32): stiamo cercando l'esponente da dare a 2 per ottenere 32, e poiché 2^5 = 32 concludiamo che log_2(32) = 5. Allo stesso modo log_3(1/9) = -2, perché 3^(-2) = 1/9, mentre log_5(1) = 0 perché qualsiasi base elevata a zero dà 1.
Proprietà fondamentali e cambiamento di base
Le proprietà dei logaritmi discendono direttamente da quelle delle potenze e sono lo strumento operativo con cui semplifichiamo le espressioni. La prima è il logaritmo del prodotto: log_a(b·c) = log_a(b) + log_a(c), valida quando b e c sono entrambi positivi. La seconda è il logaritmo del quoziente: log_a(b/c) = log_a(b) − log_a(c), che trasforma una divisione in una sottrazione. La terza è il logaritmo della potenza: log_a(b^k) = k·log_a(b), che permette di portare fuori l'esponente come fattore moltiplicativo. A queste regole si aggiungono due identità immediate ma utilissime: log_a(1) = 0 e log_a(a) = 1, valide per qualsiasi base ammissibile. Va sottolineato con forza che non esiste alcuna regola per il logaritmo di una somma: log_a(b+c) non è mai uguale a log_a(b) + log_a(c), e confondere queste due scritture è uno degli errori più frequenti da evitare.
Quando hai bisogno di calcolare un logaritmo in una base che la calcolatrice non possiede direttamente, ricorri alla formula del cambiamento di base: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a), dove c è una qualunque base ammissibile, di solito 10 oppure e. Grazie a questa formula puoi sempre ricondurre qualsiasi logaritmo ai due tasti Log e ln presenti su ogni calcolatrice scientifica.
Ricorda
- Il logaritmo è l'inverso dell'esponenziale: log_a(b) = x significa esattamente a^x = b, con a > 0, a ≠ 1 e b > 0.
- Le tre proprietà operative trasformano prodotti in somme, quozienti in differenze ed esponenti in fattori; non esiste invece alcuna regola per la somma degli argomenti.
- Verifica di apprendimento attivo: sul tuo quaderno calcola senza calcolatrice il valore di log_2(16) + log_3(1/27) − log_5(1), poi semplifica l'espressione log_a(8) + log_a(5) − log_a(10) applicando le proprietà e confronta i risultati con un compagno di banco.