I triangoli sono le figure piane più semplici e rigide della geometria; per stabilire se due triangoli sono identici non serve confrontare tutti i loro elementi, ma bastano poche informazioni scelte bene, raccolte nei tre criteri di congruenza.
Un triangolo è un poligono formato da tre lati e tre angoli, ed è la figura geometrica più studiata fin dall'antichità perché possiede una proprietà unica: è indeformabile. Se costruisci un quadrilatero con quattro asticelle incernierate ai vertici, puoi schiacciarlo e cambiarne la forma, mentre un triangolo costruito allo stesso modo resta sempre uguale a sé stesso. Questa rigidità è la ragione per cui i triangoli si usano nelle capriate dei tetti, nelle gru e nelle strutture metalliche dei ponti. Due triangoli si dicono congruenti quando, sovrapposti con un movimento rigido, coincidono perfettamente in tutti i loro lati e in tutti i loro angoli. La congruenza è quindi un'uguaglianza di forma e dimensione, e si indica con il simbolo ≅ scritto fra i nomi dei due triangoli. I criteri di congruenza ci dicono quante e quali informazioni minime servono per garantire questa coincidenza senza doverla verificare ogni volta.
I tre criteri di congruenza
Il primo criterio afferma che due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo fra essi compreso, e si abbrevia con la sigla LAL. La parola «ordinatamente» è fondamentale: gli elementi uguali devono trovarsi nella stessa posizione reciproca, cioè l'angolo deve stare proprio fra i due lati indicati e non in un'altra posizione. Il secondo criterio, chiamato ASA, garantisce la congruenza quando due triangoli hanno congruenti un lato e i due angoli adiacenti a quel lato; esiste una forma generalizzata detta secondo criterio generalizzato che funziona anche quando uno degli angoli congruenti è opposto al lato, purché l'altro angolo sia adiacente. Il terzo criterio, indicato con LLL, afferma invece che due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati rispettivamente congruenti, e questo criterio esprime in modo formale la rigidità del triangolo. Non esiste invece un criterio LLA generale, perché conoscere due lati e un angolo non adiacente fra essi può portare a due triangoli diversi. Quando si applica un criterio occorre scrivere con cura quali elementi sono congruenti e perché, indicando l'ipotesi di partenza prima di trarre la conclusione. La scelta del criterio dipende dai dati del problema e da quali elementi è più comodo confrontare.
Come usare i criteri nelle dimostrazioni
Nelle dimostrazioni di geometria i criteri di congruenza sono lo strumento principale per ottenere uguaglianze fra segmenti e angoli che a prima vista sembrano scollegati fra loro. La strategia consiste sempre nell'individuare due triangoli all'interno della figura, raccogliere gli elementi congruenti che si conoscono per ipotesi o per proprietà già dimostrate, e applicare il criterio adatto. Una volta provata la congruenza dei due triangoli, tutti gli altri loro elementi corrispondenti risultano automaticamente congruenti, e da qui si ricavano le tesi richieste. Per esempio, se in un triangolo isoscele ABC con AB ≅ AC tracciamo la bisettrice AM dell'angolo in A, otteniamo i due triangoli ABM e ACM: essi hanno AB ≅ AC per ipotesi, l'angolo in A diviso a metà dalla bisettrice, e il lato AM in comune, quindi sono congruenti per il primo criterio. Da questa congruenza segue subito che BM ≅ CM e che gli angoli in B e in C sono uguali, dimostrando una proprietà classica del triangolo isoscele. Il consiglio pratico è disegnare la figura con cura, colorare o segnare con tratti uguali i lati e gli angoli congruenti, e scrivere la dimostrazione in modo ordinato distinguendo ipotesi, tesi e passaggi.
Ricorda
- I tre criteri si memorizzano con le sigle LAL, ASA e LLL e richiedono sempre che gli elementi uguali siano disposti ordinatamente nello stesso modo nei due triangoli.
- Non esiste un criterio LLA: due lati e un angolo non compreso fra essi non bastano per garantire la congruenza.
- Esercizio di verifica: sul quaderno disegna due triangoli ABC e DEF con AB = 5 cm, BC = 4 cm e angolo in B di 60°, poi costruisci anche DE = 5 cm, EF = 4 cm e angolo in E di 60°; ritaglia i due triangoli, sovrapponili e indica quale criterio di congruenza hai applicato spiegandolo in due righe.