Sintesi: Quando un oggetto si muove nel piano, la sua traiettoria non è più una semplice retta, ma una curva che possiamo descrivere scomponendo il movimento in due direzioni indipendenti. In questa lezione impareremo a usare i vettori per studiare posizione, velocità e accelerazione, e applicheremo questi strumenti a due casi fondamentali: il moto del proiettile e il moto circolare uniforme.
Dalla retta al piano: perché servono i vettori
Finora hai studiato il moto lungo una retta, dove bastava un numero con il segno per indicare posizione, velocità o accelerazione. Quando però una palla rotola sul tavolo, una mosca vola nella stanza o un'automobile percorre una curva, la descrizione richiede due coordinate contemporaneamente. Per questo motivo introduciamo i vettori, enti matematici che possiedono modulo, direzione e verso, e che rappresentiamo con frecce nel piano cartesiano. Un vettore posizione r unisce l'origine al punto in cui si trova il corpo, e le sue componenti rx e ry corrispondono alle proiezioni sugli assi x e y. La grande forza di questa rappresentazione è che ogni operazione vettoriale si traduce in due operazioni scalari, una per asse, rendendo i calcoli sistematici. Pensa a un giocatore di biliardo che colpisce la palla: il suo movimento sul panno verde è perfettamente descritto da una coppia di numeri che cambiano nel tempo.
Spostamento, velocità e accelerazione come vettori
Lo spostamento Δr tra due istanti è il vettore che congiunge la posizione iniziale a quella finale, e in generale è diverso dalla lunghezza del percorso effettivamente compiuto. La velocità media vettoriale si ottiene dividendo lo spostamento per l'intervallo di tempo, mentre la velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoria nel punto considerato. L'accelerazione, a sua volta, misura come cambia il vettore velocità: attenzione, può variare il modulo, la direzione, oppure entrambe le cose insieme. Questa è la grande novità rispetto al moto rettilineo, perché nel piano un corpo può accelerare anche mantenendo costante il proprio modulo di velocità, se la direzione cambia. Immagina un'automobile che percorre una rotonda a 30 km/h costanti: il tachimetro segna sempre lo stesso valore, eppure il guidatore sente chiaramente di essere accelerato verso il centro. Le componenti di ciascun vettore lungo x e y si trattano come moti rettilinei indipendenti, e questa è la chiave per risolvere qualunque problema.
Il principio di indipendenza dei moti
Galileo aveva intuito un principio formidabile: i moti che avvengono lungo direzioni perpendicolari non si disturbano a vicenda e possono essere studiati separatamente. In pratica, se conosciamo le leggi orarie x(t) e y(t), conosciamo tutto del moto, perché basta combinarle istante per istante per ricostruire la traiettoria. Questa indipendenza ci permette di applicare due volte le formule del moto rettilineo, una per ciascun asse, scegliendo per ognuno il tipo di moto opportuno (uniforme o uniformemente accelerato). Per esempio, una barca che attraversa un fiume con velocità perpendicolare alla corrente impiega lo stesso tempo, sia che la corrente sia ferma sia che scorra rapidamente: la corrente la sposta lateralmente, ma non influisce sulla traversata trasversale. Per eliminare il tempo dalle due equazioni e ottenere l'equazione cartesiana della traiettoria si ricava t da una equazione e lo si sostituisce nell'altra. Questa procedura algebrica ci dice che forma ha la curva descritta dal corpo: una retta, una parabola, una circonferenza.
Il moto del proiettile
Quando lanci un sasso obliquamente verso l'alto, esso si muove orizzontalmente con velocità costante v0x = v0 cos α e verticalmente con un moto uniformemente accelerato verso il basso con accelerazione g ≈ 9,8 m/s². Le leggi orarie sono quindi x(t) = v0 cos α · t e y(t) = v0 sin α · t − (1/2) g t², dove α è l'angolo di alzo rispetto al suolo. Eliminando il tempo si ottiene l'equazione di una parabola con concavità verso il basso, traiettoria caratteristica di ogni proiettile in assenza di attrito. Da queste equazioni possiamo ricavare grandezze utili: il tempo di volo, l'altezza massima (raggiunta quando la componente verticale della velocità si annulla) e la gittata orizzontale, che a parità di velocità iniziale è massima per α = 45°. Un esempio classico è il calcio piazzato del rugbista che cerca di superare la traversa: la sua scelta dell'angolo di calcio dipende dalla distanza e dall'altezza che vuole far raggiungere alla palla. Quando il lancio è puramente orizzontale (α = 0°), come una pallina che rotola fuori da un tavolo, la traiettoria è metà parabola e la pallina tocca terra con una velocità inclinata che combina la componente orizzontale costante e quella verticale crescente.
Il moto circolare uniforme
Nel moto circolare uniforme un corpo percorre una circonferenza con velocità di modulo costante: cambia continuamente la direzione di v, ma non il suo valore numerico. Per descriverlo introduciamo il periodo T (tempo di un giro completo) e la frequenza f = 1/T (numero di giri al secondo, misurata in hertz), oltre alla velocità angolare ω = 2π/T, che dice quanti radianti vengono spazzati in un secondo. La velocità tangenziale ha modulo v = ω r, dove r è il raggio della circonferenza, mentre l'accelerazione che permette al corpo di curvare è detta centripeta e vale ac = v²/r = ω² r, sempre diretta verso il centro. È fondamentale capire che il corpo è accelerato nonostante la velocità abbia modulo costante: ciò che cambia, e quindi richiede una causa, è la direzione del vettore velocità. Pensa a un sassolino fatto roteare in fionda: la corda esercita una tensione verso la mano che fa da centro, e questa tensione fornisce proprio l'accelerazione centripeta; se la corda si spezza, il sassolino non vola via radialmente, ma parte in linea retta tangente alla circonferenza, come prevede il principio d'inerzia.
Ricorda
- Nel piano usiamo i vettori posizione, velocità e accelerazione, ciascuno con due componenti lungo gli assi cartesiani.
- I moti lungo direzioni perpendicolari sono indipendenti: ogni asse si studia separatamente con le leggi del moto rettilineo.
- Il moto del proiettile combina un moto uniforme orizzontale con un moto uniformemente accelerato verticale e ha traiettoria parabolica.
- L'angolo di alzo che produce la massima gittata in assenza di attrito è 45°.
- Nel moto circolare uniforme la velocità ha modulo costante, ma esiste un'accelerazione centripeta diretta verso il centro pari a v²/r.
- Periodo, frequenza e velocità angolare sono legati dalle relazioni T = 1/f e ω = 2π/T = 2π f.
Esercizio di verifica (sul quaderno): Un palloncino viene lanciato da terra con velocità iniziale di 20 m/s e angolo di alzo di 30°. Calcola sul quaderno: (a) le componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale; (b) il tempo necessario per raggiungere il punto più alto della traiettoria; (c) l'altezza massima raggiunta; (d) la gittata. Usa g = 9,8 m/s² e disegna anche uno schizzo della parabola, indicando i tre punti notevoli (partenza, vertice, ricaduta).